乘积法则 (uv)' = u'v + uv' 的推导与商法则的关联

1. 从导数定义出发推导乘积法则

设 两个函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 都在 $x$ 处可导。考虑 自变量 $x$ 获得一个微小的增量 $\Delta x$，对应的函数增量分别记为 $\Delta u = u(x+\Delta x) - u(x)$ 和 $\Delta v = v(x+\Delta x) - v(x)$。根据 可导的定义，有：

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} = u'(x), \quad \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x} = v'(x) $$

现在 计算乘积 $u(x)v(x)$ 的增量 $\Delta(uv)$：

$$ \Delta(uv) = u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x)v(x) $$

关键技巧：插入 一项 $u(x+\Delta x)v(x)$，使表达式可分解：

$$ \begin{aligned} \Delta(uv) &= u(x+\Delta x)v(x+\Delta x) - u(x+\Delta x)v(x) + u(x+\Delta x)v(x) - u(x)v(x) \\ &= u(x+\Delta x) \big[ v(x+\Delta x) - v(x) \big] + v(x) \big[ u(x+\Delta x) - u(x) \big] \\ &= u(x+\Delta x) \Delta v + v(x) \Delta u \end{aligned} $$

将 上式两边同时除以 $\Delta x$：

$$ \frac{\Delta(uv)}{\Delta x} = u(x+\Delta x) \frac{\Delta v}{\Delta x} + v(x) \frac{\Delta u}{\Delta x} $$

取极限 $\Delta x \to 0$。因为 $u$ 可导，所以 $u$ 在 $x$ 处连续，即 $\lim_{\Delta x \to 0} u(x+\Delta x) = u(x)$。于是：

$$ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta(uv)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} u(x+\Delta x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x} + v(x) \cdot \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x} $$

代入极限值，得到：

$$ (uv)' = u(x) v'(x) + v(x) u'(x) $$

简写 为 $(uv)' = u'v + uv'$。此即乘积法则。

2. 利用乘积法则推导商法则

现在 考虑商的导数：$\left( \frac{u}{v} \right)'$，其中 $v(x) \neq 0$。令 $y(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$，则等式 $y(x) \cdot v(x) = u(x)$ 恒成立。对 等式两边同时求导，左边是乘积 $y \cdot v$ 的导数，应用乘积法则：

$$ y' v + y v' = u' $$

解出 $y'$（即商的导数）：

$$ y' = \frac{u' - y v'}{v} $$

将 $y = \frac{u}{v}$ 代入上式：

$$ y' = \frac{u' - \frac{u}{v} \cdot v'}{v} = \frac{u' v - u v'}{v^2} $$

得到 商法则：

$$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

注意：上述推导完全依赖于乘积法则，没有使用导数的原始极限定义。这说明商法则可以看作是乘积法则的推论。

3. 从乘积法则与链式法则导出商法则的另一种路径

将 $\frac{u}{v}$ 写为 $u \cdot v^{-1}$，其中 $v^{-1} = \frac{1}{v}$。应用 乘积法则：

$$ \left( \frac{u}{v} \right)' = u' \cdot \frac{1}{v} + u \cdot \left( \frac{1}{v} \right)' $$

剩下 需要求 $(\frac{1}{v})'$。把它 看作是复合函数 $f(v) = v^{-1}$ 与 $v(x)$ 的复合，利用链式法则：

$$ \left( \frac{1}{v} \right)' = - \frac{1}{v^2} \cdot v' $$

因此：

$$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'}{v} - \frac{u v'}{v^2} = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

结果 与上一步完全一致。这里我们再次看到乘积法则和链式法则共同支撑起商法则。

4. 从商法则反观乘积法则的统一性

若 将商法则中的分子视为 $u$ 和 $v$ 的线性组合，改写 为 $\frac{u'v - uv'}{v^2}$。当 $v(x) \equiv 1$（即常数函数 1）时，商法则退化为 $u' \cdot 1 = u'$，这与直接求导一致。更深入 地，乘积法则实际上也可以从商法则推导出来吗？尝试 令 $w = uv$，则 $u = w / v$。用 商法则对 $u$ 求导，会得到关于 $w'$ 的表达式，解出 $w'$ 即得乘积法则。这个过程虽然可行，但略繁琐，不在这里展开。重要的是，两者在逻辑上等价——只要链式法则和代数运算成立，它们就能互相导出。

5. 一个简洁的记忆方法

将 乘积法则 $(uv)' = u'v + uv'$ 记作“前导后不导，后导前不导，然后相加”。对于 商法则，借助 乘积法则的记忆：分母平方，分子是“前导后不导，后导前不导，然后相减”：

$$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$

注意 顺序：导数分子中的减号来源于将 $\frac{1}{v}$ 的导数 $-v'/v^2$ 代入乘积法则后产生的负项。

6. 应用示例（检验法则的正确性）

例1：$y = x^2 \sin x$。设 $u = x^2$, $v = \sin x$。计算 $u' = 2x$, $v' = \cos x$。代入 乘积法则：

$$ y' = (x^2)' \sin x + x^2 (\sin x)' = 2x \sin x + x^2 \cos x $$

例2：$y = \frac{x^2 + 1}{x}$。设 $u = x^2 + 1$, $v = x$。得 $u' = 2x$, $v' = 1$。使用 商法则：

$$ y' = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} $$

也可 先化简 $y = x + \frac{1}{x}$，再求导得 $1 - \frac{1}{x^2}$，与上面结果相同。

7. 乘积法则推导中的关键步骤回顾

总结 乘积法则推导的思维脉络：

• 引入 辅助项 $u(x+\Delta x)v(x)$，将增量拆分成两项之和。
• 分解 成 $u(x+\Delta x)\Delta v$ 和 $v(x)\Delta u$。
• 除以 $\Delta x$ 后，利用 连续性 $\lim u(x+\Delta x) = u(x)$ 以及 $\Delta u / \Delta x$ 和 $\Delta v / \Delta x$ 的极限存在，得到 最终形式。

这个技巧（加一项减一项）在微积分中反复出现，是处理乘积增量的标准手法。掌握它，不仅能推导出乘积法则，还能理解导数运算的线性本质。

8. 商法则与乘积法则的深层关联

从代数结构看，可导函数的集合构成一个微分代数：两个可导函数的和、积、商（分母不为零）仍然可导。乘积法则正是在这个代数结构中刻画“导子是导子”的莱布尼茨性质。而商法则则是乘积法则与负幂导数（来自链式法则）的直接产物。换句话说，一旦你接受了乘积法则和链式法则，商法则就自动跟随，无需再求助于极限定义。

因此，在学习微积分时，优先 掌握乘积法则和链式法则，然后 将商法则视为它们的推论，可以简化记忆负担，并加深对微分运算统一性的理解。