向量数量积a·b=x1x2+y1y2的坐标运算及垂直条件a·b=0

把两个向量的坐标摆出来，横坐标乘横坐标、纵坐标乘纵坐标，再把两个积加起来，得到一个数——这就是向量数量积的坐标算法。

设 $\vec{a}=(x_1,y_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2)$，则

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$$

记住三句话：对位相乘、逐项相加、结果是一个数。

一、套公式算数量积：三步

1. 抄出两个向量的坐标，横坐标一组、纵坐标一组，注意别把顺序对调。

2. 乘对应位置：第一个的横坐标乘第二个的横坐标得到 $x_1x_2$，第一个的纵坐标乘第二个的纵坐标得到 $y_1y_2$。

3. 加这两个积，写成最终数值。

例：$\vec{a}=(3,-2)$，$\vec{b}=(1,5)$

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times1+(-2)\times5=3-10=-7$$

例：$\vec{a}=(-1,4)$，$\vec{b}=(6,-2)$

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=(-1)\times6+4\times(-2)=-6-8=-14$$

负数参与相乘时先加括号再算，符号错一步，后面全盘皆错。

二、三维向量照搬同一条规则

遇到有三个分量的向量，把规则延长一格即可，不需要换新公式。

设 $\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$$

例：$\vec{a}=(1,-3,2)$，$\vec{b}=(4,2,-1)$

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times4+(-3)\times2+2\times(-1)=4-6-2=-4$$

1. 数出两个向量各有几个分量，个数必须相同，否则说明题目抄错了。

2. 按顺序一对一相乘，不重复、不遗漏、不交叉。

3. 求和，几个分量就加几项。

三、这条公式的来历：看懂一行，一辈子不会记错

把向量拆成横竖两个方向的分量，用带小箭头的单位向量 $\vec{i}$、$\vec{j}$ 表示：

$$\vec{a}=x_1\vec{i}+y_1\vec{j},\qquad \vec{b}=x_2\vec{i}+y_2\vec{j}$$

按分配律全部展开：

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2(\vec{i}\cdot\vec{i})+x_1y_2(\vec{i}\cdot\vec{j})+y_1x_2(\vec{j}\cdot\vec{i})+y_1y_2(\vec{j}\cdot\vec{j})$$

根据三个基本事实：$\vec{i}\cdot\vec{i}=1$，$\vec{j}\cdot\vec{j}=1$，$\vec{i}\cdot\vec{j}=0$（横竖两个方向互相垂直），中间两项直接归零，剩下

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2$$

中间的交叉项之所以消失，是因为横向单位向量与纵向单位向量垂直，数量积为零。公式不是背下来的，是推出来的。

四、垂直条件：数量积等于零

两个非零向量互相垂直，等价于它们的数量积为 $0$；反过来，数量积为 $0$ 也说明两个非零向量垂直。

$$\vec{a}\perp\vec{b}\iff x_1x_2+y_1y_2=0$$

判断竖直的步骤：

1. 算出 $x_1x_2+y_1y_2$ 的具体值。

2. 看结果：等于 $0$ 就是垂直，不等于 $0$ 就不垂直。

3. 补一句前提：两个向量都不是零向量。

例：$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(3,-2)$

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times3+3\times(-2)=6-6=0$$

所以这两个向量垂直。

例：$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(2,1)$

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times2+2\times1=4\neq0$$

不垂直。

五、用垂直条件反求参数：三步

1. 写出含着未知数的数量积表达式，先不算出结果，保留字母。

2. 令整个表达式等于 $0$，得到一个关于未知数的一次或二次方程。

3. 解方程求出未知数，再回代检查两个向量是否都是非零向量。

例：已知 $\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(t,-1)$，且 $\vec{a}\perp\vec{b}$，求 $t$。

第一步，写出数量积：

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\times t+2\times(-1)=t-2$$

第二步，令它等于零：

$$t-2=0$$

第三步，解得 $t=2$。回代得 $\vec{b}=(2,-1)$，不是零向量，结果有效。

例：已知 $\vec{a}=(m,3)$，$\vec{b}=(2,m)$，且 $\vec{a}\perp\vec{b}$，求 $m$。

$$\vec{a}\cdot\vec{b}=2m+3m=5m=0$$

解得 $m=0$。此时 $\vec{a}=(0,3)$，$\vec{b}=(2,0)$，两个都不是零向量，符合条件。

注意含平方的方程可能有两个解，两个都要回代检验，不能只保留一个。

六、最容易错的五种写法

1. 把数量积当成向量。数量积的结果是一个数，没有方向，后面不能加箭头。写成 $\vec{a}\cdot\vec{b}=(-7,0)$ 就是错的。

2. 写成 $x_1y_2+x_2y_1$。这是错位相乘，得到的是行列式，不是数量积。数量积只认同位相乘。

3. 垂直条件和平行条件混用。垂直用 $x_1x_2+y_1y_2=0$；平行用 $x_1y_2-x_2y_1=0$。两者长得像，中间一个加号一个减号，用之前默念一遍。

4. 忽略零向量。零向量跟任何向量的数量积都是 $0$，但零向量没有确定方向，不能拿它去证明垂直。判断题里出现“数量积为 $0$ 则垂直”，一定要确认非零。

5. 符号丢失。$(-2)\times5$ 先写 $-10$，不要写成 $10$。负号建议在整个算式里都用括号包住。

七、和模长、夹角连起来用

数量积的坐标公式与模长公式、夹角公式是同一套工具的三个出口，遇到不同问题就换不同的出口。

向量 $\vec{a}$ 的模长：

$$|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$

两向量的夹角余弦：

$$\cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$$

据此还能读出两种情况：

• 数量积为正，夹角是锐角；数量积为负，夹角是钝角；数量积为 $0$，夹角是直角。

• 求投影、求距离、求面积的问题，先把数量积算出来，再代入相应公式，比先求夹角再求余弦快得多。

例：求 $\vec{a}=(1,2)$ 与 $\vec{b}=(3,1)$ 的夹角。

先算数量积：$1\times3+2\times1=5$。再算两个模长：$|\vec{a}|=\sqrt{5}$，$|\vec{b}|=\sqrt{10}$。代入公式：

$$\cos\theta=\frac{5}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

所以夹角为 45 度。

八、算完自己验一遍的两个办法

1. 换特殊向量试。取 $\vec{a}=(k,0)$，$\vec{b}=(p,q)$，数量积必须是 $kp$。如果手算结果对不上，说明公式套错了位置。

2. 看正负号。两向量大致同向，数量积为正；大致反向，数量积为负；一横一竖，数量积为零。心里估一下方向，再对答案，能拦住六成以上的粗心错。