三角形任意两边之和大于第三边的证明

准备：把证明拆成可执行的动作

1. 写出三个顶点的名字：A、B、C。名字可以换，习惯上用 A、B、C。

2. 确认这三个点不在同一条直线上。用大白话说：拿一把直尺去靠，如果三个点不能同时贴在直尺的同一条边上，就说明它们不共线。

3. 连接三个点，得到三条线段：AB、BC、CA。线段就是两点之间直直连起来的那条路线。

4. 记住一个基本事实：从一点到另一点，直直走最短。任何拐弯的路线都不会比直直走更短；如果拐弯路线和直直走一样长，那它实际上没有拐弯，中间点落在直线上。

第一步：证明 AB + BC > AC

1. 选择从 A 到 C 作为比较对象。直接从 A 到 C 的路线长度是 $AC$。

2. 构造另一条从 A 到 C 的路线：先走 A 到 B，再走 B 到 C。这条路线的长度是 $AB+BC$。

3. 比较两条路线。根据基本事实，拐弯路线不会比直路短，所以 $AB+BC\ge AC$。

4. 排除等号。假如 $AB+BC=AC$，说明拐弯路线 A-B-C 没有比直路 AC 长。这只有在 B 点正好落在 A 到 C 的直线上时才可能。此时 A、B、C 三点共线，三角形退化成一条线段，不再是三角形。这与准备步骤中的“三点不共线”矛盾。

5. 得出严格结果：$AB+BC>AC$。

第二步：轮换顶点，得到另外两组

1. 交换字母 A、B、C 的位置，重复第一步的比较方法。

2. 写出由 $AB+BC>AC$ 轮换得到的两组结果：

$$ BC+CA>AB $$

$$ CA+AB>BC $$

3. 整理三组不等式：

$$ AB+BC>AC $$

$$ BC+CA>AB $$

$$ CA+AB>BC $$

4. 读成中文：任意选两条边相加，和一定大于剩下的那条边。

第三步：用反证法复核

1. 假设某一组不成立，例如 $AB+BC\le AC$。

2. 考察从 A 到 C 的折线 A-B-C。它的长度 $AB+BC$ 不大于直路 $AC$。

3. 应用基本事实：折线不会比直路短，所以只能有 $AB+BC=AC$。

4. 推出 B 点落在 A 到 C 的直线上，A、B、C 三点共线。这与三角形定义矛盾。

5. 否定假设，所以 $AB+BC>AC$ 必须成立。另外两组用同样方法处理。

第四步：检查“任意”是否覆盖所有选法

1. 列出所有“两边”的组合：AB 和 BC、BC 和 CA、CA 和 AB。只有这三种。

2. 对应第三边：AC、AB、BC。

3. 核对三组不等式都已经证明。因此“任意两边之和大于第三边”不是只对某一组成立，而是三组都成立。

第五步：检查特殊三角形是否也成立

1. 代入等边三角形：三条边相等，设边长为 $a$。每一组都是 $a+a>a$，即 $2a>a$。因为 $a>0$，所以成立。

2. 验证等腰三角形：设两条腰为 $a$，底为 $b$。因为它是三角形，三个顶点不共线，所以折线严格长于直路，$a+a>b$ 成立；另一组 $a+b>a$ 因为 $b>0$ 也成立。

3. 说明直角或钝角三角形：不需要改方法。折线 A-B-C 仍然比直路 AC 长，因为 B 不在 AC 上。角度大小不影响“拐弯路线更长”这个事实。

第六步：避免三个常见错误

1. 避免只证明一组。只证明 $AB+BC>AC$ 不够，还要轮换字母得到另外两组。

2. 避免把“大于或等于”当成最终结论。等号只在三点共线时出现，而三角形要求三点不共线，所以必须是严格大于。

3. 避免忘记“三点不共线”这个条件。没有这个条件，等号可能出现，例如 A-B-C 排成一条直线时 $AB+BC=AC$。

第七步：写出最终结论

1. 写出：在三角形 ABC 中，$AB+BC>AC$。

2. 写出：在三角形 ABC 中，$BC+CA>AB$。

3. 写出：在三角形 ABC 中，$CA+AB>BC$。

4. 合并成一句话：三角形任意两边之和大于第三边。