为什么特征值之和等于矩阵的迹：从特征多项式说起

矩阵的迹是指其主对角线上元素的和，特征值则是方程 det(A - λI) = 0 的解。我们要证明，对于一个 n 阶方阵 A，它的所有特征值之和等于它的迹。

1. 理解关键定义

1. 明确矩阵的迹：对于一个 n 阶方阵 A，其迹 tr(A) 定义为主对角线元素 a_{11}, a_{22}, ..., a_{nn} 的代数和。即，tr(A) = a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn}。

2. 定义特征多项式：矩阵 A 的特征多项式是一个关于变量 λ 的多项式，其定义为 p(λ) = det(A - λI)，其中 I 是同阶单位矩阵。

2. 展开特征多项式的两种方式

证明的核心在于观察并比较特征多项式 p(λ) = det(A - λI) 的两种不同表达形式。

1. 从行列式定义展开：
   根据行列式的定义，p(λ) = det(A - λI) 是 (A - λI) 中所有可能的 n 个元素乘积的代数和。这些乘积中，每一项都包含了矩阵 (A - λI) 每一行的一个元素。将 (A - λI) 写出来，它的主对角线元素是 a_{ii} - λ，其他位置元素不变。当展开行列式时，包含最多个 λ 的项来自于主对角线元素的乘积，即 (a_{11} - λ)(a_{22} - λ)...(a_{nn} - λ)。这个乘积本身就是 p(λ) 的一个 n 次项来源。将这个主对角线乘积展开，会得到一个关于 λ 的 n 次多项式，其中 λ^{n-1} 项的系数是 -(a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn})。行列式中其他项在展开时，包含 λ^{n-1} 的可能性更低（因为它们不取主对角线的全部元素），所以整个多项式 p(λ) 中 λ^{n-1} 项的系数，最终就是 -(a_{11} + a_{22} + ... + a_{nn})，即 -tr(A)。

2. 从根与系数的关系展开：
   另一方面，设矩阵 A 的 n 个特征值为 λ_1, λ_2, ..., λ_n（可能有重根，也可能为复数）。那么根据定义，特征多项式 p(λ) 可以完全分解为 (λ - λ_1)(λ - λ_2)...(λ - λ_n)。将这个连乘式展开，得到一个首项系数为 1 的 n 次多项式：λ^n - (λ_1 + λ_2 + ... + λ_n)λ^{n-1} + ... + (-1)^n (λ_1 λ_2 ... λ_n)。可以看出，λ^{n-1} 项的系数是 -(λ_1 + λ_2 + ... + λ_n)。

3. 比较系数得出结论

现在，我们得到了特征多项式 p(λ) 的两种等价的代数表达式。

1. 建立等式：根据上述两种展开，同一个多项式 p(λ) 中 λ^{n-1} 项的系数必须相等。因此，我们得到以下等式：
   -tr(A) = -(λ_1 + λ_2 + ... + λ_n)

2. 得出最终关系：将等式两边的负号同时去掉，得到 tr(A) = λ_1 + λ_2 + ... + λ_n。

结论：一个矩阵的迹，等于其所有特征值的和。

4. 通过一个 2x2 矩阵实例演示

为了更具体地理解这个推导过程，我们以一个 2x2 矩阵为例。

1. 设定矩阵：考虑一个 2x2 矩阵 A = [[a_{11}, a_{12}], [a_{21}, a_{22}]]。它的迹 tr(A) = a_{11} + a_{22}。

2. 计算特征多项式：
   p(λ) = det([[a_{11}-λ, a_{12}], [a_{21}, a_{22}-λ]])
   根据行列式公式 det([[x, y], [z, w]]) = xw - yz，计算得：
   p(λ) = (a_{11}-λ)(a_{22}-λ) - a_{12}a_{21}

3. 展开多项式：
   p(λ) = (a_{11}a_{22} - a_{11}λ - a_{22}λ + λ^2) - a_{12}a_{21}
p(λ) = λ^2 - (a_{11} + a_{22})λ + (a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21})
   从展开结果可以直接看到，λ 的一次项系数是 -(a_{11} + a_{22})，即 -tr(A)。

4. 使用根与系数关系：设两个特征值为 λ_1 和 λ_2，则多项式应为 (λ - λ_1)(λ - λ_2) = λ^2 - (λ_1 + λ_2)λ + λ_1λ_2。对比 λ 的一次项系数，我们再次得到 -(a_{11} + a_{22}) = -(λ_1 + λ_2)，从而 tr(A) = λ_1 + λ_2。