二次型通过正交变换化为标准型及特征值的意义

拿到一个含交叉项的二次型，想把它化成只剩平方项、一眼能看出几何形状的标准型，按下面的步骤执行。

一、把二次型装进对称矩阵

1. 写出 二次型的矩阵形式 $f=x^{T}Ax$。平方项的系数直接放到对角线；交叉项 $x_ix_j$ 的系数除以 2，分别放在第 $i$ 行第 $j$ 列和第 $j$ 行第 $i$ 列。

2. 核对 矩阵是否对称。只要 $A^{T}\neq A$，后面所有计算都会错，先回头检查交叉项系数是否被平分。

以 $f=5x_1^{2}+5x_2^{2}-4x_1x_2$ 为例，交叉项系数是 $-4$，除以 2 得 $-2$，于是

$$A=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&5\end{pmatrix}$$

交叉项系数要减半，是因为 $x^{T}Ax$ 展开时 $a_{ij}x_ix_j$ 和 $a_{ji}x_jx_i$ 各出现一次，合起来是 $2a_{ij}x_ix_j$，要让总和等于原式的 $-4x_1x_2$，单个位置就只能放 $-2$。

二、解特征方程求特征值

3. 计算 特征多项式 $|\lambda I-A|$，并令它等于 0。

4. 解 这个关于 $\lambda$ 的方程，得到全部特征值。

对上例：

$$|\lambda I-A|=\begin{vmatrix}\lambda-5&2\\2&\lambda-5\end{vmatrix}=(\lambda-5)^{2}-4=0$$

解得 $\lambda_1=3$，$\lambda_2=7$。

5. 验证 结果是否为实数。实对称矩阵的特征值一定全是实数，算出复数根说明第一步矩阵写错了。

三、求特征向量并正交单位化

6. 解 齐次方程组 $(\lambda_i I-A)v=0$，得到每个特征值对应的特征向量。

上例中，代入 $\lambda=3$ 得 $(1,1)^{T}$，代入 $\lambda=7$ 得 $(1,-1)^{T}$。

7. 正交化 同一个特征值下如果解出多个向量，用施密特正交化把它们两两改造成互相垂直。不同特征值对应的特征向量天然垂直，这一步可以跳过。

8. 单位化 把每个向量除以自身长度。上例中 $(1,1)$ 的长度是 $\sqrt{2}$，单位化后得到 $q_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^{T}$，$q_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)^{T}$。

9. 检查 两两内积是否为 0、每个向量长度是否为 1。这两条不过关，最后的标准型一定不对。

四、拼正交矩阵并换元

10. 按列拼 出正交矩阵 $Q=(q_1,q_2,\dots,q_n)$，列的顺序要和特征值一一对应。

上例：

$$Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$$

11. 令 $x=Qy$，把原来的变量 $x$ 全部换成新变量 $y$。这个变换只做旋转或镜像，长度和夹角都不变。

12. 代入 二次型：

$$x^{T}Ax=y^{T}Q^{T}AQy=y^{T}\Lambda y$$

其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，对角线上就是特征值。交叉项全部消失，原因是 $Q^{T}AQ=Q^{-1}AQ=\Lambda$，正交矩阵的逆等于它的转置。

13. 写出 标准型。上例得到

$$f=3y_1^{2}+7y_2^{2}$$

原来的交叉项 $-4x_1x_2$ 已经被变量的旋转吸收掉了。

五、把特征值翻译成信息

14. 看符号定类型。特征值全正，二次型正定，曲面 $f=1$ 是椭球；全负，负定；有正有负，不定，曲面是双曲面类；出现 0，曲面退化，图像"塌"到低维。

15. 看大小定伸缩。特征值绝对值越大，沿该方向二次型增长越快，曲面在那一侧就越"陡"、越"扁"。等值面 $f=1$ 的半轴长度是 $1/\sqrt{|\lambda|}$，上例半轴分别是 $1/\sqrt{3}\approx 0.577$ 和 $1/\sqrt{7}\approx 0.378$，是一个横着放的长椭圆。

16. 看零的个数定秩。非零特征值的个数就是矩阵的秩，也是二次型的秩。

17. 套用惯性定理。不管用什么可逆变换去化简，正系数的个数、负系数的个数、零的个数都不会变。这三个数分别叫正惯性指数、负惯性指数和秩，是二次型的"身份证号"。正交变换只是把系数换成了具体的特征值 $m$。

六、理解正交变换为什么特殊

18. 区分 正交变换和普通可逆变换。配方法也能消掉交叉项，但它用的是普通可逆变换，会拉伸、剪切空间，标准型前面的系数不唯一，换一种配方顺序得到的结果可能完全不同。

19. 记住 正交变换的三条保证：保持向量长度、保持两个向量的夹角、保持图形全等。所以它只是把坐标轴转到曲面的主轴方向上，曲面的形状一点没变。

20. 得出 唯一性结论：在正交变换下，标准型的系数只能是特征值，除了排列顺序可以调换，没有第二种可能。这就是特征值作为二次型"内在参数"的含义。

七、用特征值判断正定和极值

21. 判断 正定性：算出全部特征值，全大于 0 就是正定。等价写法还有两种：所有顺序主子式全大于 0；对任意非零向量 $x$ 都有 $x^{T}Ax>0$。考试里矩阵阶数高时优先用主子式，阶数低时直接算特征值更快。

22. 判断 多元函数的临界点性质。把函数在临界点处的二阶偏导矩阵（Hessian 矩阵）写出来，算它的特征值：全正说明该点是极小值点，全负是极大值点，有正有负则是鞍点，出现 0 说明二阶信息不够，需要看更高阶。

23. 读出 数据里的主次。在多元统计或信号处理中，协方差矩阵就是一个实对称矩阵，它的特征值代表各个主方向上数据波动的方差大小，特征向量就是主方向。特征值越大，说明数据在该方向上的信息越集中，这也是主成分分析只保留前几个最大特征值方向的依据。

八、三维情形的快速对照

24. 数 特征值的正负个数，直接对应曲面类型：三个全正，$f=1$ 是椭球面；两正一负，是单叶双曲面；一正两负，是双叶双曲面；有一个零，是柱面或锥面一类的退化曲面。

25. 取 特征向量的方向作为新坐标轴，此时方程里不再出现 $y_1y_2$、$y_1y_3$、$y_2y_3$ 这类混合项，曲面的三条主轴正好落在三个坐标轴上。