换元积分法第一类令u=g(x)及第二类令x=h(t)的选择策略

判断换元方向，先盯住被积函数里是否已经出现“某个内层函数”和“它的导数”。出现，优先第一类；没出现，但 $x$ 本身被根号、二次式、复杂分式卡住，优先第二类。

1. 第一类换元法：令 $u=g(x)$

第一类换元法又叫凑微分。核心目标是把被积函数整理成 $f(g(x))g'(x)$，然后令 $u=g(x)$。

核心公式：

$$ \int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du $$

1. 观察 被积函数，找出反复出现或包裹在内部的表达式，把它记为 $g(x)$。

2. 寻找 被积函数中是否存在 $g'(x)$，或者与 $g'(x)$ 只差一个常数的因子。

3. 令 $u=g(x)$。

4. 求 微分 $du=g'(x)\,dx$。

5. 替换 原积分中的 $g(x)$ 换成 $u$，$g'(x)\,dx$ 换成 $du$。

6. 积分 对关于 $u$ 的新积分求原函数。

7. 回代 把 $u=g(x)$ 代回，结果只保留 $x$。

8. 求导 验证结果，确认导数等于原被积函数。

示例：计算 $\int 2x\cos(x^2)\,dx$。

1. 观察 被积函数，内层是 $x^2$。

2. 寻找 导数因子，$(x^2)'=2x$，刚好存在 $2x$。

3. 令 $u=x^2$。

4. 求 $du=2x\,dx$。

5. 替换 原积分变为 $\int \cos u\,du$。

6. 积分 得 $\sin u+C$。

7. 回代 得 $\sin(x^2)+C$。

常见第一类凑微分模式：

1. 见到 $x\,dx$，尝试 凑 $d(x^2)$。

2. 见到 $\frac{1}{x}\,dx$，尝试 凑 $d(\ln|x|)$。

3. 见到 $e^x\,dx$，尝试 凑 $d(e^x)$。

4. 见到 $\cos x\,dx$，尝试 凑 $d(\sin x)$。

5. 见到 $\sin x\,dx$，尝试 凑 $d(\cos x)$，注意负号。

6. 见到 $\sec^2 x\,dx$，尝试 凑 $d(\tan x)$。

7. 见到 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$，尝试 凑 $d(\arcsin x)$。

8. 见到 $\frac{1}{1+x^2}\,dx$，尝试 凑 $d(\arctan x)$。

选择第一类的信号：被积函数像“外层函数套内层函数”，并且外面有内层函数的导数。此时第一类最快。

2. 第二类换元法：令 $x=h(t)$

第二类换元法又叫变量代换。核心目标是把难处理的 $x$ 换成新变量 $t$，让根号、二次式或分式变简单。

核心公式：

$$ \int f(x)\,dx = \int f(h(t))h'(t)\,dt $$

1. 识别 难处理结构，例如 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$、$\sqrt{ax+b}$、高次分式。

2. 选择 代换函数 $x=h(t)$，目标是消去根号或降低分式复杂度。

3. 求 微分 $dx=h'(t)\,dt$。

4. 替换 原积分中的 $x$ 换成 $h(t)$，$dx$ 换成 $h'(t)\,dt$。

5. 化简 用三角恒等式或代数恒等式，把积分变成关于 $t$ 的简单形式。

6. 积分 对关于 $t$ 的积分求原函数。

7. 回代 通过反函数或辅助直角三角形关系，把 $t$ 换回 $x$。

8. 求导 验证结果，确认导数等于原被积函数。

常见第二类代换：

1. 遇到 $\sqrt{a^2-x^2}$，令 $x=a\sin t$，其中 $t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。

2. 遇到 $\sqrt{a^2+x^2}$，令 $x=a\tan t$，其中 $t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$。

3. 遇到 $\sqrt{x^2-a^2}$，令 $x=a\sec t$，并按 $x$ 的符号讨论 $t$ 的范围。

4. 遇到 $\sqrt{ax+b}$，令 $t=\sqrt{ax+b}$，反解 $x=\frac{t^2-b}{a}$。

5. 遇到 $\sqrt[n]{ax+b}$，令 $t=\sqrt[n]{ax+b}$。

6. 遇到 分母次数明显高于分子，尝试 倒代换 $x=\frac{1}{t}$。

示例：计算 $\int \sqrt{a^2-x^2}\,dx$，其中 $a>0$。

1. 识别 根号内是 $a^2-x^2$，对应 $x=a\sin t$。

2. 令 $x=a\sin t$，$t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$。

3. 求 $dx=a\cos t\,dt$。

4. 替换 根号变为 $\sqrt{a^2-a^2\sin^2 t}=a\cos t$，积分变为 $\int a^2\cos^2 t\,dt$。

5. 化简 用 $\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$。

6. 积分 得 $a^2\left(\frac{t}{2}+\frac{\sin 2t}{4}\right)+C$。

7. 回代 由 $x=a\sin t$ 得 $t=\arcsin\frac{x}{a}$，且 $\sin 2t=2\sin t\cos t=2\frac{x}{a}\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$。

8. 整理 得 $\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+C$。

选择第二类的信号：被积函数中的 $x$ 本身不好处理，根号或二次式迫使你换掉 $x$。此时第二类比硬凑微分更稳。

3. 选择策略：先第一类，后第二类

1. 先扫 被积函数，找内层函数 $g(x)$ 和它的导数 $g'(x)$。

2. 若 存在 $g'(x)$ 或只差常数，使用 第一类，令 $u=g(x)$。

3. 若 不存在明显导数因子，检查 是否有根号、二次式、复杂分式。

4. 若有 根号结构，优先 套用第二类三角代换或根式代换。

5. 若有 复杂分式且分母次数高，考虑 倒代换。

6. 比较 两种代换后的积分难度，选更容易积出的那个。

7. 若 第一类走不通，不要 强行凑微分，转 第二类。

8. 若 第二类代换后仍复杂，尝试 其他代换、分部积分、部分分式或三角恒等变形。

第一类与第二类的判断可以压缩成一句话：看到“内层导数”用第一类，看到“x 本身难缠”用第二类。

4. 定积分换元的额外检查

1. 换限 使用第二类代换时，把 $x$ 的上下限换成 $t$ 的上下限。

2. 对应 使用第一类代换时，若保留 $x$ 的上下限，则回代后再计算；若换成 $u$，则同时换上下限。

3. 检查 代换函数在上下限区间内是否单调，避免反函数多值。

4. 检查 根号、对数、反三角函数的定义域和绝对值。

5. 检查 结果符号，尤其是三角代换开根号时的正负。

6. 求导 最终验证，确保结果正确。

5. 常见错误与修正

1. 漏 $dx$：令 $u=g(x)$ 后，必须写出 $du=g'(x)\,dx$。

2. 漏 回代：积分完成后，所有 $u$ 或 $t$ 都要换回 $x$。

3. 漏 常数：凑微分时补上的常数要乘在积分外，例如 $dx=\frac{1}{2}d(2x)$。

4. 混 两类代换：第一类是令 $u=g(x)$，第二类是令 $x=h(t)$，方向不要反。

5. 忘 换限：定积分用第二类代换后，上下限必须跟着换。

6. 忘 讨论范围：三角代换的 $t$ 范围决定开根号后的符号。

7. 忘 验证：对最终结果求导，若等于原被积函数，计算结束。

求导 验证结果，若等于原被积函数，计算结束。