一元一次不等式组的解集口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找

解出一元一次不等式组的解集，靠的是四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找。这四句只在最后一步生效，前面两个动作必须先做干净：逐个解每个不等式，化成左边只有 $x$、右边只有一个数的形式。跳过这两步直接套口诀，必错。

阶段一：把每个不等式单独解成最简形式

1. 去分母。不等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数，每项都要乘，分子是多项式时加上括号。

2. 去括号。按分配律逐项展开，括号前是负号时，改变括号内每一项的符号。

3. 移项。把含 $x$ 的项移到左边，常数项移到右边，移过去的项变符号。

4. 合并同类项。两边各自化简，得到形如 $ax>b$ 或 $ax<b$ 的式子，其中 $a\ne 0$。

5. 除以未知数的系数，把系数变成 1。这一步是唯一会翻车的动作：除以正数时保持不等号方向不变，除以负数时必须把不等号方向翻转。

例如解 $2-3x<11$，移项得 $-3x<9$，除以 $-3$ 并翻转不等号，得到 $x>-3$。

每个不等式解完后，统一写成 $x>a$、$x\ge a$、$x<a$、$x\le a$ 这四种形状，右边的 $a$ 直接用数字或最简分数表示，别留分数以外的运算符号。

阶段二：比较两个边界数字的大小

1. 取出每个不等式右边的那个数，作为该不等式的边界值。

2. 标出两个边界值的相对位置，小数在左、大数在右。

3. 判断两个不等号的方向是否一致：都是“大于”或“大于等于”，属于同向偏大；都是“小于”或“小于等于”，属于同向偏小；一个大于一个小于，属于异向。

边界值的大小和不等号的方向，决定了后面套哪一句口诀。

阶段三：套用四句口诀

完整口诀是四句：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找。下面逐一拆开。

情形一：同大取大

两个不等式都是“大于”或“大于等于”型，即 $x>a$ 与 $x>b$，解集取较大的那个数作为下界。

写成的结果形式：

$$x>\max(a,b)$$

例如 $x>1$ 与 $x>6$，解集是 $x>6$。理由很直接：要同时满足比 1 大和比 6 大，只有比 6 大这一条路能走通。带等号的情况同理，$x\ge 3$ 与 $x>3$ 合并后取 $x\ge 3$，因为等号一侧放宽了条件，取更宽松的那个。

情形二：同小取小

两个不等式都是“小于”或“小于等于”型，即 $x<a$ 与 $x<b$，解集取较小的那个数作为上界。

写成的结果形式：

$$x<\min(a,b)$$

例如 $x<8$ 与 $x<-2$，解集是 $x<-2$。同时比 8 小和比负 2 小，被负 2 卡死了，所以上界只能取负 2。

情形三：大小小大中间找

一个不等号是“大于”，另一个是“小于”，这叫“大小”。看着数字，大于号后面那个数比较小，小于号后面那个数比较大，这叫“小大”。两个条件同时成立，解集夹在中间。

写成的结果形式：

$$b<x<a \quad (\text{其中 } b<a)$$

例如 $x>2$ 与 $x<5$，解集是 $2<x<5$。验证方法很直观：取 $x=3$，比 2 大、比 5 小，成立；取 $x=1$，不满足 $x>2$，被淘汰；取 $x=8$，不满足 $x<5$，也被淘汰。只有中间那一段全部合格。

边界是否带等号，由原不等式决定。$x>2$ 与 $x\le 5$ 合起来就是 $2<x\le 5$，左端点空、右端点实。

情形四：大大小小无处找

还是异向，但数字位置反了：大于号后面跟着较大的数，小于号后面跟着较小的数，比如 $x>5$ 与 $x<2$。这时两个条件互相打架——要同时比 5 大又比 2 小，找不到任何一个数。

结论：不等式组无解。

要注意区分“无解”和“解集是空集”的说法，两者在这里是一回事。写答案时直接写“无解”或写成空集符号 $\varnothing$ 都可以，别写成 $2<x<5$ 那种自相矛盾的形式。

阶段四：用特殊值复核

1. 挑一个属于解集范围内的数，分别代入原不等式组的每一个不等式，看是否全部成立。

2. 挑一个刚好在解集边界外侧的数，比如解集是 $2<x<5$，就取 $x=2$ 或 $x=5$，代入验证它不满足其中至少一个不等式。

3. 检查边界等号。把解集里的等号与每个原不等式的等号比对一遍：所有不等式都带等号，解集端点才带等号；只要有一个不带等号，该端点就是空心，不带等号。

复核这一步不需要每道题都做，但在刚开始熟练口诀时，取一个整数代进去试算，能拦下大部分符号错误。

阶段五：避开四个高频坑

1. 别在没解完每个不等式时就套口诀。如果某条式子还带着分母或括号，右边的所谓“边界值”根本不是边界值。先化成标准形式，再判断。

2. 别把“同大取大”理解成“取大的解集”。它取的是边界数字中大的那个，不是取条件宽松的那个。$x>1$ 与 $x>6$ 中，1 更宽松，但答案取 6。

3. 别忘翻转不等号。两边同乘或同除负数时，不等号方向必须改，这一步漏掉，后面所有判断全部失效。

4. 别把无解写成有解。遇到 $x>5$ 与 $x<2$ 这类组合，直接判定无解，不要试图硬凑出一个区间。

记住四句口诀的适用顺序：先看方向是否一致，一致就看谁更紧，不一致就比两个数字的大小，小数字跟大于号、大数字跟小于号，才是中间找；数字位置相反，就是无处找。