一元二次方程求根公式的配方法推导过程

目标方程是 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a \neq 0$。要求出满足这个等式的所有 $x$。

配方法的思路只有一句话：把方程左边凑成一个完全平方式，右边只剩一个常数，然后开平方。下面按顺序执行。

第一阶段：把方程整理成便于配方的形状

1. 确认 二次项系数 $a$ 不等于 $0$。如果 $a = 0$，方程退化成一次方程 $bx + c = 0$，不属于本文讨论范围。

2. 除以 二次项系数 $a$，让二次项变成 $x^2$ 而不是 $ax^2$。这一步的作用是清掉二次项前面的数字，后面配方会简单很多。

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$$

3. 移项 把常数项 $\dfrac{c}{a}$ 搬到等号右边，左边只保留含 $x$ 的两项。

$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$$

做到这里，左边的形状是「一个平方项加一个一次项」，这正是可以配成完全平方的形态。

第二阶段：完成配方

4. 取下 一次项系数，也就是 $\dfrac{b}{a}$，把它除以 $2$，得到 $\dfrac{b}{2a}$。

5. 平方 上一步得到的结果，得到 $\dfrac{b^2}{4a^2}$。

为什么取「一半再平方」？因为在完全平方式里有一个固定对应关系：把 $\left(x + k\right)^2$ 展开会得到 $x^2 + 2kx + k^2$。对照左边 $x^2 + \dfrac{b}{a}x$，一次项系数 $\dfrac{b}{a}$ 等于 $2k$，所以 $k = \dfrac{b}{2a}$，而常数项必须是 $k^2$。也就是说，一次项系数的一半的平方，就是配方时缺的那块常数。

6. 加上 这个数到等号两边。左边补齐成完全平方，右边保持等式成立。

$$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$$

注意右边：原来有 $-\dfrac{c}{a}$，新加进来 $\dfrac{b^2}{4a^2}$，两项一前一后写清楚，不要漏符号。

7. 改写成 左边的完全平方形式。

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}$$

可以直接展开验证：$\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \dfrac{b}{a}x + \dfrac{b^2}{4a^2}$，与上一步左边完全一致。

第三阶段：把右边并成一项

8. 通分 右边的两项。第一项分母是 $4a^2$，第二项分母是 $a$，公分母取 $4a^2$。把 $-\dfrac{c}{a}$ 的分子分母同乘 $4a$，得到 $-\dfrac{4ac}{4a^2}$。

9. 合并 分子，右边变成单一分式。

$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$$

这一步之后，方程已经变成了「某东西的平方等于某个数」的标准形态，可以直接开方。

第四阶段：开平方求根

10. 开平方 等号两边。左边开方后是 $x + \dfrac{b}{2a}$，但要记住一个数的平方等于某数时，这个数本身有正负两种可能，所以不能只写正号。

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$$

11. 拆开 右边根号内的分式。分母 $4a^2$ 是 $2a$ 的平方，开出来是 $\left|2a\right|$，也就是 $2\left|a\right|$。先原样写出带绝对值的形式：

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\left|a\right|}$$

12. 处理 分母上的绝对值符号。这是整个推导里唯一需要多想一步的地方。

当 $a > 0$ 时，$\left|a\right| = a$，分母就是 $2a$，没问题。

当 $a < 0$ 时，$\left|a\right| = -a$，分母是 $-2a$，与 $2a$ 相差一个负号。但这个负号会被前面的 $\pm$ 吸收掉：因为 $\pm$ 表示「正一遍、负一遍各取一次」，整体取反得到的结果集合完全一样。

所以无论 $a$ 是正是负，都可以把分母上的 $\left|a\right|$ 直接写成 $a$，解集不变：

$$x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

13. 移项 把 $\dfrac{b}{2a}$ 移到等号右边。

$$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

14. 合并 两个同分母的分式，写成统一形式，这就是求根公式：

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

第五阶段：判断根的情况

15. 计算 根号里的部分 $b^2 - 4ac$，记作判别式 $\Delta$。它的正负决定了能开出什么样的结果。

16. 对照 三种情况分别处理。

• 当 $\Delta > 0$：根号可以正常开出，$\pm$ 取正负各一次，得到两个不相等的实数根。
• 当 $\Delta = 0$：根号部分是 $0$，$\pm$ 的正负两支合为同一数值，得到 $x = -\dfrac{b}{2a}$，习惯上称为两个相等的实数根（或一个二重根）。
• 当 $\Delta < 0$：负数在实数范围内不能开平方，此时方程没有实数根。如果允许复数，则写成 $x = \dfrac{-b \pm i\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$，两根互为共轭。

17. 代入 一个具体方程检验整套流程。取 $2x^2 - 7x + 3 = 0$，这里 $a = 2$，$b = -7$，$c = 3$。

先算判别式：$\Delta = (-7)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 49 - 24 = 25$。

再套公式：

$$x = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$$

取正号得 $x = 3$，取负号得 $x = \dfrac{1}{2}$。

18. 回代 验证结果。把 $x = 3$ 代入原方程：$2 \times 9 - 7 \times 3 + 3 = 18 - 21 + 3 = 0$，成立。把 $x = \dfrac{1}{2}$ 代入：$2 \times \dfrac{1}{4} - 7 \times \dfrac{1}{2} + 3 = \dfrac{1}{2} - \dfrac{7}{2} + 3 = 0$，同样成立。