独立重复试验的二项分布B(n,p)及期望方差计算

独立重复试验的二项分布B(n,p)及期望方差计算

1. 先理解「独立重复试验」

独立重复试验 指的是：同一件事连续做多次，每次的结果互不影响，且每次成功的概率保持不变。比如：

• 抛一枚硬币 10 次，每次正面朝上的概率都是 0.5。
• 射击 5 次，每次命中概率都是 0.3。
• 从一批产品中有放回地抽检 8 件，每件次品率都是 0.05。

这类试验有两个关键点：

1. 单次试验只有两种结果：成功与失败。
2. 各次试验相互独立：上一次的结果不会改变下一次的成功概率。

把“成功”的次数记为随机变量 $X$，那么 $X$ 就服从二项分布，记作：

$$X \sim B(n, p)$$

其中：

• $n$：试验总次数。
• $p$：单次试验成功的概率。
• $1-p$：单次试验失败的概率。

2. 写出二项分布的概率公式

如果你想知道“做了 $n$ 次，恰好成功 $k$ 次”的概率，使用下面的公式：

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n$$

这里 $\binom{n}{k}$ 叫组合数，表示从 $n$ 次中选出哪 $k$ 次成功，计算方式为：

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

举例：掷 3 次骰子，点数 1 视为成功，概率 $p = \frac{1}{6}$。恰好出现 1 次 1 的概率是：

$$P(X=1) = \binom{3}{1} \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^2 = 3 \times \frac{1}{6} \times \frac{25}{36} \approx 0.347$$

3. 验证一个变量是否服从二项分布

判断 一个随机变量是否为 $B(n,p)$，按以下步骤操作：

1. 确认 试验次数固定为 $n$，不会中途增加或减少。
2. 确认 每次试验只有“成功”和“失败”两种结果。
3. 确认 每次试验成功的概率都等于同一个 $p$，失败概率为 $1-p$。
4. 确认 任意两次试验之间相互独立，一次结果不影响另一次。
5. 定义 随机变量 $X$ 为这 $n$ 次中成功的总次数。

如果上述条件全部满足，就能使用二项分布的各种结论。

4. 计算期望 $E(X)$

期望 是在多次重复试验中，成功次数的“长期平均值”。对于 $B(n,p)$，结论非常简洁：

$$E(X) = np$$

推导过程（不需要死记硬背，但理解后更容易记住）：

把 $X$ 拆成 $n$ 个单次试验的指示变量之和。设：

$$I_i = \begin{cases} 1, & \text{第 } i \text{ 次成功} \\ 0, & \text{第 } i \text{ 次失败} \end{cases}$$

那么 $X = I_1 + I_2 + \dots + I_n$。

每次试验的期望为：

$$E(I_i) = 1 \times p + 0 \times (1-p) = p$$

根据期望的线性性质（不需要独立性，加法直接拆）：

$$E(X) = E(I_1) + E(I_2) + \dots + E(I_n) = n \times p$$

所以期望就是 n 乘 p。

5. 计算方差 $Var(X)$

方差 衡量成功次数在期望附近波动的程度。对于 $B(n,p)$，结论同样简洁：

$$Var(X) = np(1-p)$$

推导过程：

先计算每个 $I_i$ 的方差。由于 $I_i$ 只有 0 和 1 两个取值，且 $E(I_i^2) = 1^2 \times p + 0^2 \times (1-p) = p$，所以：

$$Var(I_i) = E(I_i^2) - [E(I_i)]^2 = p - p^2 = p(1-p)$$

因为各次试验相互独立，和的方差等于方差之和：

$$Var(X) = Var(I_1) + Var(I_2) + \dots + Var(I_n) = n \times p(1-p)$$

注意：这里用到了独立性。如果试验不独立，这个公式就不成立。

6. 实际计算综合示例

题目：某篮球运动员投篮命中率为 0.6，他独立投篮 5 次。设 $X$ 为投中的次数。

1. 写出分布：$X \sim B(5, 0.6)$。

2. 计算期望：$E(X) = 5 \times 0.6 = 3$，即长期平均每 5 次投中 3 次。

3. 计算方差：$Var(X) = 5 \times 0.6 \times 0.4 = 1.2$，标准差为 $\sqrt{1.2} \approx 1.095$，说明投中次数通常在 3 左右波动。

4. 计算恰好投中 4 次的概率：

   $$P(X=4) = \binom{5}{4} (0.6)^4 (0.4)^1 = 5 \times 0.1296 \times 0.4 = 0.2592$$

5. 计算至少投中 4 次的概率：

   $$P(X \ge 4) = P(X=4) + P(X=5) = 0.2592 + (0.6)^5 = 0.2592 + 0.07776 = 0.33696$$

7. 使用速查表快速计算

如果你需要频繁计算 $B(n,p)$ 的概率，可以使用下面的速查表：

使用 速查表时，定位 到对应行，代入 $n$ 和 $p$，计算 结果。

8. 记住三个核心结论

• 期望公式：$E(X) = np$，表示长期平均成功次数。
• 方差公式：$Var(X) = np(1-p)$，表示波动大小。
• 概率公式：$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$，表示恰好成功 $k$ 次的概率。

这三条是二项分布最重要的工具，所有后续计算都基于它们。