二次函数最大值最小值在实际问题中的应用：抛物线型优化

二次函数 $y=ax^2+bx+c$（$a\neq 0$）的图像是一条抛物线。当 $a>0$ 时，抛物线开口向上，函数在顶点处取得最小值；当 $a<0$ 时，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。这一性质在工程、经济、物理等领域的优化问题中有着广泛应用。

1. 核心理论：顶点坐标与对称轴

对于一般式 $y=ax^2+bx+c$，其对称轴为 $x=-\dfrac{b}{2a}$，顶点纵坐标为 $\dfrac{4ac-b^2}{4a}$。

若 $a>0$，则当 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 时，$y$ 取得最小值：

$$ y_{\min} = \frac{4ac-b^2}{4a} $$

若 $a<0$，则当 $x=-\dfrac{b}{2a}$ 时，$y$ 取得最大值：

$$ y_{\max} = \frac{4ac-b^2}{4a} $$

在实际问题中，自变量 $x$ 往往有取值范围限制（如长度、件数、时间不能为负），此时最值可能在顶点处取得，也可能在区间端点处取得。因此，解题时必须先确定定义域，再判断顶点是否落在该区间内。

2. 实际问题建模三步法

第一步：设自变量和因变量，明确问题的目标量（如利润、面积、成本）。

第二步：找等量关系，列出关于 $x$ 的二次函数表达式。通常需要利用几何公式、单价乘以数量、总收入减去总成本等关系。

第三步：求定义域，并利用顶点公式或配方法确定最值。

下面通过具体案例说明。

3. 案例一：最大利润问题

某商品每件进价为 40 元，当售价定为 60 元时，每天可卖出 100 件。市场调查发现：售价每提高 1 元，销量减少 2 件。问售价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？

设售价为 $x$ 元（$x\ge 60$），则每件利润为 $x-40$ 元。计算销量：售价提高了 $x-60$ 元，每提高 1 元少卖 2 件，所以销量为 $100-2(x-60)$ 件，化简得 $220-2x$。

建立利润函数 $P(x)$：

$$ P(x) = (x-40)(220-2x) $$

展开并整理：

$$ P(x) = -2x^2 + 300x - 8800 $$

这是一个开口向下的抛物线，最大值在顶点处取得。

求对称轴：$x=-\dfrac{300}{2\times(-2)}=75$。

验证定义域：售价不得低于 60 元，且销量必须非负，由 $220-2x\ge0$ 得 $x\le110$。因此定义域为 $60\le x\le110$。对称轴 $x=75$ 在该区间内。

计算最大利润：

$$ P_{\max} = (75-40)(220-2\times75) = 35\times70 = 2450 $$

结论：售价定为 75 元时，每天利润最大，最大利润为 2450 元。

4. 案例二：最小成本问题

某工厂生产某种产品的总成本 $C(x)$（单位：万元）与日产量 $x$（单位：吨）之间的关系为：

$$ C(x) = 2x^2 - 80x + 1000 $$

问日产量为多少吨时，总成本最低？最低成本是多少？

观察二次项系数 $a=2>0$，抛物线开口向上，函数有最小值。

求对称轴：$x=-\dfrac{-80}{2\times2}=20$。

由于产量 $x\ge0$，对称轴 $x=20$ 在定义域内。

计算最低成本：

$$ C_{\min} = 2\times20^2 - 80\times20 + 1000 = 800 - 1600 + 1000 = 200 $$

结论：当日产量为 20 吨时，总成本最低，最低成本为 200 万元。

如果题目额外规定“日产量不得超过 15 吨”，则定义域变为 $0\le x\le15$。此时对称轴 $x=20$ 不在定义域内，函数在区间内单调递减，所以评估端点：当 $x=15$ 时，

$$ C(15) = 2\times15^2 - 80\times15 + 1000 = 450 - 1200 + 1000 = 250 $$

而 $x=0$ 时 $C(0)=1000$，因此最低成本为 250 万元，对应日产量 15 吨。这个例子说明：最优点不一定在顶点，必须在定义域内寻找。

5. 案例三：最大面积问题

用总长为 80 米的篱笆围成一个矩形菜园，已知矩形的一边靠墙（靠墙的一边不需要篱笆），如何设计长和宽才能使菜园面积最大？最大面积是多少？

设垂直于墙的边长为 $x$ 米（即矩形的宽），平行于墙的边长为 $y$ 米（即矩形的长）。

建立等量关系：篱笆总长 80 米，靠墙一侧不用篱笆，所以 $2x+y=80$，即 $y=80-2x$。

菜园面积 $S=xy$，代入 $y$：

$$ S = x(80-2x) = -2x^2 + 80x $$

确定定义域：宽 $x>0$，长 $y>0$，由 $80-2x>0$ 得 $x<40$，所以 $0<x<40$。

求对称轴：$x=-\dfrac{80}{2\times(-2)}=20$，在定义域内。

计算最大面积：

$$ S_{\max} = -2\times20^2 + 80\times20 = -800 + 1600 = 800 $$

此时 $y=80-2\times20=40$。

结论：当垂直于墙的边长为 20 米、平行于墙的边长为 40 米时，菜园面积最大，最大面积为 800 平方米。

6. 案例四：抛物线拱桥的高度优化

某桥梁的拱形可以近似看作抛物线。桥面宽度为 20 米，拱顶最高处距桥面垂直距离为 6 米。以桥面中点为原点、水平方向为 $x$ 轴、竖直方向为 $y$ 轴建立坐标系，则该抛物线方程为：

$$ y = -\frac{6}{100}x^2 + 6 $$

其中 $x$ 的单位为米，$y$ 表示拱上某点距桥面的高度（米）。

现在需要从拱下通过一艘船，船的截面为矩形，宽为 8 米，高为 4 米。问船能否安全通过？（假设船的最高点恰好位于桥面宽度中心线，且两侧留有余量，忽略船体与拱的间隙。）

分析：船宽 8 米，因此船两侧边缘对应的 $x$ 坐标为 $x=\pm4$。计算该位置处拱的高度：

$$ y(4) = -\frac{6}{100}\times4^2 + 6 = -0.96 + 6 = 5.04 $$

船高 4 米，而拱在 $x=\pm4$ 处的高度为 5.04 米，比较可得 $5.04>4$，所以船可以安全通过，且顶部至少还有 1.04 米的余量。

如果船宽变为 16 米，则 $x=\pm8$ 处的高度为：

$$ y(8) = -\frac{6}{100}\times8^2 + 6 = -3.84 + 6 = 2.16 $$

此时拱高 2.16 米小于船高 4 米，船不能通过。

这个案例展示了如何利用二次函数的单调性和最值进行空间尺寸的判定。设计桥梁时，可以在方程中调整参数（如提高拱顶高度或改变抛物线开口），使通航净空满足要求。

7. 综合解题步骤清单

1. 阅读题目，确定自变量和因变量。
2. 列出等量关系，写出二次函数表达式。
3. 求出对称轴 $x=-\dfrac{b}{2a}$。
4. 判断对称轴是否在题目要求的定义域内。
5. 若在定义域内，则代入顶点公式得最值；若不在，则计算定义域端点的函数值并比较。
6. 写出最终答案，注意单位。

8. 常见易错点提醒

• 忽略定义域：有些问题中自变量不能取所有实数，最值未必在顶点，可能在端点。
• 符号错误：二次项系数 $a$ 的正负决定了最值的类型，漏看负号会导致求最大值误用最小值公式。
• 单位不清：利润问题中“元”和“件”要分别标明，面积问题中“米”和“平方米”不能混用。
• 配方法不熟：如果不用顶点公式，也可以用配方法把 $y=ax^2+bx+c$ 化为 $y=a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{4ac-b^2}{4a}$ 的形式，同样能快速确定最值。

9. 扩展思考：多个条件的组合优化

实际问题往往有多个限制条件，例如材料成本、人力成本、环保指标等同时约束。此时可以先根据约束解出自变量之间的关系，再代入目标函数，将问题转化为单变量二次函数最值问题。例如在最大利润案例中，如果引入“广告费每增加 1 万元，销量额外增加 5 件”，则利润函数可能变成关于售价和广告费的二元函数，但可以通过消元回归到二次函数。

二次函数最值不仅是数学课本上的经典题型，更是现实决策中“如何花最少的钱、办最多的事”的核心工具。掌握抛物线型优化的思路，也就掌握了一类最朴素的资源配置方法。