一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的求根公式推导

目标：从一般式 $ax^2 + bx + c = 0$（其中 $a \neq 0$）出发，通过配方法，一步步得到公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。

阶段一：整理方程，消除二次项系数

确认系数不为零：因为 $a \neq 0$，方程才是一元二次方程。如果 $a = 0$，则变为一次方程，不适用本公式。
将常数项移到等号右边：
移项，得到
$$ax^2 + bx = -c.$$
两边同时除以二次项系数 $a$，使二次项系数变为 $1$：
除以 $a$，得到
$$x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}.$$
（这一步是配方的核心准备：只有二次项系数为 $1$，才能用一次项系数的半平方来配方）

计算一次项系数的一半：当前方程中一次项系数是 $\frac{b}{a}$，它的一半是 $\frac{b}{2a}$。
在等式两边同时加上这个半系数的平方：
加上 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$，得到
$$x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2.$$
目的：左边恰好构成一个完全平方公式 $(x + \frac{b}{2a})^2$。
将左边写为完全平方形式：
改写，得到
$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2}.$$

通分合并右边：将 $-\frac{c}{a}$ 化为分母为 $4a^2$ 的分数：
$$-\frac{c}{a} = -\frac{4ac}{4a^2}.$$
于是右边变为
$$-\frac{4ac}{4a^2} + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.$$
结果：
$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.$$

对等式两边同时开平方：注意平方根有正负两个值。
开平方，得到
$$x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}.$$
化简根号内的分式：因为 $4a^2 = (2a)^2$，所以
$$\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|2a|}.$$
由于分母 $2a$ 的正负会影响最终符号吗？实际上，±号已经包含了符号变化，因此可以写作
$$\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
这里隐含了一个约定：当 $a < 0$ 时，$\pm$ 号依然能覆盖所有解，所以最终公式中分母直接写 $2a$ 而不加绝对值。
移项得到最终表达式：
移项，得到
$$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$
将两项合并为同一个分母 $2a$：
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

定义判别式：记 $\Delta = b^2 - 4ac$。
- 当 $\Delta > 0$ 时，方程有两个不相等的实数根。
- 当 $\Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根（即一个重根）。
- 当 $\Delta < 0$ 时，方程无实数根，但有两个共轭复数根（使用复数范围）。
验证：将求根公式中的 $\pm$ 分别代入原方程，均能使等式成立。此步骤通常通过代入检验完成，这里不再赘述。

最终结论：一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）的求根公式为
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$