直线与平面位置关系：平行、在面内、相交与夹角

判定一条直线与一个平面在三维空间中的相对位置，是立体几何的基础操作。只需掌握方向向量和法向量这两个工具，你就能快速区分平行、在面内和相交三种情况，并计算出相交时的夹角。

1. 确定核心工具：方向向量与法向量

在开始判定前，你需要准备好两个关键向量。

提取直线的方向向量：从直线方程中获取。若直线以参数形式给出（如 (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t * (a, b, c)），则方向向量 v = (a, b, c)。若直线由两个平面相交定义，则方向向量 v 是两平面法向量的叉积。
提取平面的法向量：从平面方程 Ax + By + Cz + D = 0 中获得。法向量 n = (A, B, C)。

准备好 v 和 n 后，开始判定位置关系。

这是区分“平行或在内”与“相交”的关键。

计算点积：计算直线方向向量 v 与平面法向量 n 的点积 v · n。
检查结果：
- 如果 v · n = 0：说明方向向量 v 与法向量 n 垂直。这意味着直线与平面平行，或直线在平面内。前往下一节进一步区分。
- 如果 v · n ≠ 0：说明直线与法向量不垂直，直线一定与平面相交于唯一一点。跳转到第 4 节计算交点与夹角。

当 v · n = 0 时，直线要么与平面平行（不相交），要么完全躺在平面内。代入一个点即可区分。

在直线上选一个点：从直线方程中任意取一个点 P。例如，从参数形式中取 t = 0 得到的点 (x0, y0, z0)。
将点代入平面方程：代入点 P 的坐标到平面方程 Ax + By + Cz + D 中。
检查结果：
- 如果 A*x0 + B*y0 + C*z0 + D = 0：说明点 P 在平面上。由于直线过点 P 且方向与平面平行，整条直线都躺在该平面内。结论：直线在平面内。
- 如果 A*x0 + B*y0 + C*z0 + D ≠ 0：说明点 P 不在平面上。直线与平面没有公共点，且方向平行。结论：直线与平面平行。

判定完毕。若结果为“在平面内”或“平行”，流程结束。

当直线与平面相交时，可以求出交点坐标以及直线与平面的夹角。

代入直线参数式：将直线的参数式 (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t * (a, b, c) 代入平面方程 Ax + By + Cz + D = 0。
解出参数 t：这会产生一个关于 t 的一元一次方程。求解得到 t 的值。
- A*(x0 + a*t) + B*(y0 + b*t) + C*(z0 + c*t) + D = 0
- 整理得：t * (A*a + B*b + C*c) + (A*x0 + B*y0 + C*z0 + D) = 0
- 由于分母 (A*a + B*b + C*c) = v · n ≠ 0，t 有唯一解。
回代得到交点：将解出的 t 代回直线的参数式，得到交点的坐标 (x, y, z)。

直线与平面的夹角定义为直线与其在平面上的投影所夹的锐角，记为 θ。它与方向向量 v 和法向量 n 的关系如下。

$$ \sin\theta = \frac{|v \cdot n|}{\|v\| \cdot \|n\|} $$

其中，v · n 是点积，∥v∥ 和 ∥n∥ 分别是向量 v 和 n 的模长。