p级数 \( \frac{1}{n^p} \) 收敛条件 \( p>1 \) 的积分判别法证明

打开积分判别法工具箱。积分判别法说：对于一个正项且单调递减的函数 \( f(x) \)，级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} f(n) \) 收敛，当且仅当广义积分 \( \int_{1}^{\infty} f(x) \, dx \) 收敛。

定义目标级数：\( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \)，其中 \( p \) 是实数。我们要证明当且仅当 \( p>1 \) 时该级数收敛。这里只证明 \( p>1 \) 的情形。

构造辅助函数 \( f(x) = \frac{1}{x^p} \)。它在区间 \( [1, \infty) \) 上是正的、连续的，并且当 \( p>0 \) 时单调递减（当 \( p \leq 0 \) 时级数显然发散，因为通项不趋于0，但本题只关心 \( p>1 \)）。

应用积分判别法的标准步骤：

1. 验证函数条件：对于 \( p>1 \)，函数 \( f(x) \) 在 \( [1,\infty) \) 上连续、正且单调递减。

2. 计算广义积分 \( \int_{1}^{\infty} x^{-p} \, dx \)：

   • 写出不定积分：\( \int x^{-p} \, dx = \frac{x^{-p+1}}{-p+1} + C \)（当 \( p \neq 1 \)）。
   • 代入上下限：
     \[ \int_{1}^{\infty} x^{-p} \, dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} \frac{b^{1-p}}{1-p} - \frac{1}{1-p}. \]
   • 由于 \( p>1 \)，有 \( 1-p < 0 \)，所以 \( b^{1-p} \to 0 \) 当 \( b \to \infty \)。因此积分值为：
     \[ \int_{1}^{\infty} x^{-p} \, dx = 0 - \frac{1}{1-p} = \frac{1}{p-1}. \]
   • 积分收敛于一个有限数 \( \frac{1}{p-1} \)。

3. 得出结论：根据积分判别法，广义积分收敛意味着级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \) 也收敛。

注意：对于 \( p=1 \)，积分 \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} \, dx \) 发散（对数发散），因此调和级数发散，这恰好是边界。对于 \( p<1 \)，同理积分发散。

验证特殊情形 \( p=2 \)：积分 \( \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \, dx = 1 \)，级数 \( \sum 1/n^2 = \pi^2/6 \) 确实收敛。