二阶常系数非齐次方程的特解待定系数法

当微分方程右边出现干扰项 $f(x)$ 时，求解特解是绕不开的一步。待定系数法就是一个根据 $f(x)$ 的形式“猜出”特解结构，再代入方程确定具体系数的实用技巧。

第一部分：核心思路与通用规则

写出对应的齐次方程：对于形如 $y'' + py' + qy = f(x)$ 的方程，先看其右边为零的版本，即 $y'' + py' + qy = 0$。

计算特征根：求出该齐次方程的特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的两个根 $r_1, r_2$。这两个根的性质（是否相等）直接决定了我们后面如何“猜”特解。

记住特解的核心规则：特解 $y^*$ 的形式，由 $f(x)$ 的“函数家族”决定。但特解不能与通解中的任意一部分重复，否则会被齐次解“吃掉”。因此，当猜出的初始形式与通解中的某部分“同构”（即结构相同）时，需要乘以 $x$（若还不够就乘以 $x^2$）来消除这种重复。

第二部分：分类破解各类干扰项

干扰项 $f(x)$ 通常是多项式、指数函数、正弦/余弦函数，或它们的组合。下面分类说明如何构造 $y^*$。

情况一：干扰项是多项式 $P_n(x)$

$P_n(x)$ 是一个 $n$ 次多项式，例如 $3x^2 + 2x - 1$。
设定特解形式：$y^* = Q_n(x)$，其中 $Q_n(x)$ 是一个待定系数的 $n$ 次多项式，一般写成 $Q_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$。

进行关键比较：检查 $r = 0$ 是否是特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的根。

• 若 $r=0$ 不是根，则特解就是 $Q_n(x)$。
• 若 $r=0$ 是单根（即 $q=0$ 但 $p \neq 0$），则特解变为 $x \cdot Q_n(x)$。
• 若 $r=0$ 是重根（即 $q=0$ 且 $p=0$），则特解变为 $x^2 \cdot Q_n(x)$。

情况二：干扰项是指数函数 $e^{ax}$

设定特解形式：$y^* = A e^{ax}$，其中 $A$ 是待定系数。

进行关键比较：检查 $r = a$ 是否是特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的根。

• 若 $r=a$ 不是根，则特解就是 $A e^{ax}$。
• 若 $r=a$ 是单根，则特解变为 $A x e^{ax}$。
• 若 $r=a$ 是重根，则特解变为 $A x^2 e^{ax}$。

情况三：干扰项是正弦或余弦函数 $\cos\beta x$ 或 $\sin\beta x$

设定特解形式：$y^* = A\cos\beta x + B\sin\beta x$。注意，无论 $f(x)$ 是单独的 $\cos$、$\sin$，还是它们的线性组合，特解都必须同时包含两者，因为求导后它们会互相转化。

进行关键比较：检查 $r = i\beta$ 或 $r = -i\beta$（即特征根为纯虚数）是否是特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的根。这等价于检查特征方程的判别式是否导致了纯虚根，通常具体体现在 $f(x)$ 中 $\beta$ 与齐次方程的固有频率是否一致。

• 若 $\pm i\beta$ 不是根，则特解就是 $A\cos\beta x + B\sin\beta x$。
• 若 $\pm i\beta$ 是根（即 $r^2 + \beta^2 = 0$ 是特征方程），则特解变为 $x(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$。

情况四：干扰项是组合形式 $e^{ax}P_n(x)\cos\beta x$ 或其类似物

这是前三种情况的结合。遵循如下构造原则：
特解形式 = 指数因子 $e^{ax}$ × 多项式因子 $Q_n(x)$ × 三角因子 $(A\cos\beta x + B\sin\beta x)$，再根据是否与齐次解重复，整体乘以 $x^k$（$k=0,1,2$）。

判定乘法因子 $k$ 的规则：将整个组合形式看作 $e^{(a+i\beta)x}$ 的实部或虚部。计算这个“复指数”的底 $a+i\beta$。检查这个复数是否是特征方程 $r^2 + pr + q = 0$ 的根（将 $r$ 换成 $a+i\beta$ 代入验证）。

• 若 不是根，则 $k=0$。
• 若是单根，则 $k=1$。
• 若是重根，则 $k=2$。

第三部分：傻瓜式操作流程

1. 识别方程右边 $f(x)$ 的函数类型（多项式、指数、三角、组合）。
2. 计算对应齐次方程 $y'' + py' + qy = 0$ 的特征根 $r_1, r_2$。
3. 根据 $f(x)$ 的类型，套用第二部分中对应的公式，写出包含待定系数的特解形式 $y^*$。
4. 执行关键比较步骤：将特征根与 $f(x)$ 中蕴含的指数（实数或复数）进行对比，决定是否需要在 $y^*$ 前乘以 $x$ 或 $x^2$。
5. 将确定了结构的 $y^*$（包含所有待定系数 $A, B, a_i$ 等）代入原方程 $y'' + py' + qy = f(x)$。
6. 合并同类项，令方程左右两边同类项的系数相等，得到一个关于待定系数的线性方程组。
7. 解这个方程组，求出所有待定系数。
8. 将求得的系数代回 $y^*$ 的表达式，即得到最终的特解。