除法中的商不变规律：被除数和除数同乘同除商不变

核心规律：在除法算式中，被除数和除数同时乘以或除以一个相同的、不为零的数，商的大小不变。

1. 通过一个简单例子理解规律

1. 列出一个基础算式：6 ÷ 3 = 2。这里 6 是被除数，3 是除数，2 是商。

2. 验证“同乘”情况：

   • 将被除数 6 和除数 3 同时乘以 2，得到新算式：(6 × 2) ÷ (3 × 2) = 12 ÷ 6。
   • 计算 12 ÷ 6 的结果，得到 2，商与原算式相同。

3. 验证“同除”情况：

   • 将原算式的被除数 6 和除数 3 同时除以 3，得到新算式：(6 ÷ 3) ÷ (3 ÷ 3) = 2 ÷ 1。
   • 计算 2 ÷ 1 的结果，得到 2，商依然与原算式相同。

2. 深入理解规律的核心

1. 明确关键条件：

   • 操作必须是 “同时” 对被除数和除数进行。
   • 操作必须是 “乘以”或“除以”。
   • 所乘或所除的必须是 “同一个数”。
   • 这个“同一个数”不能为 0。因为除数不能为 0，如果除以 0 就违反了除法规则。

2. 掌握规律的通用表述：

   • 对于任何除法算式 a ÷ b = c（其中 b ≠ 0），以及任何不为零的数 k，以下等式恒成立：
     $$ (a \times k) ÷ (b \times k) = c $$
     $$ (a ÷ k) ÷ (b ÷ k) = c \quad (k ≠ 0) $$

3. 理解规律的本质：

   • 这个规律的本质是，被除数和除数同比例放大或缩小，它们之间的倍数关系（即商）保持不变。它描述了除法算式内部各部分之间的一种稳定的数量关系。

3. 运用规律简化计算

1. 应用于小数除法：

   • 遇到 1.26 ÷ 0.6 这样的算式时，运用商不变规律。
   • 识别到除数 0.6 只有一位小数。
   • 执行“同乘”操作：将被除数 1.26 和除数 0.6 同时乘以 10，将除数变为整数。
   • 得到简化算式：(1.26 × 10) ÷ (0.6 × 10) = 12.6 ÷ 6。
   • 计算 12.6 ÷ 6 = 2.1，此即最终结果。

2. 应用于末尾有零的整数除法：

   • 遇到 8500 ÷ 500 这样的算式时，运用商不变规律简化计算。
   • 观察到被除数和除数末尾都有 0。
   • 执行“同除”操作：同时划去被除数和除数末尾相同数量的 0（相当于同时除以 10、100 等）。
   • 操作：将 8500 和 500 末尾的两个 0 同时划去，得到 85 ÷ 5。
   • 计算 85 ÷ 5 = 17，结果与原算式 8500 ÷ 500 的商相同，且计算过程大为简化。

3. 注意：运用“划去末尾零”的方法时，必须确保被除数和除数末尾划去的 0 的个数相同。例如 850 ÷ 50，可以同时划去末尾一个 0，变成 85 ÷ 5 来计算。

4. 运用规律解决实际问题

1. 解决“数字填写”问题：

   • 题目示例：48 ÷ 8 = 6，那么 (48 ○ ) ÷ (8 ○ ) = 6。括号内应填什么相同的数？
   • 分析：根据商不变规律，括号内可以填任意不为零的数，如 2, 10, 100 等。
   • 填写：例如，可以填写 × 10，得到 (48 × 10) ÷ (8 × 10) = 6。

2. 解决“比较大小”问题：

   • 题目示例：比较 A = 3.6 ÷ 1.2 与 B = 36 ÷ 12 的大小。
   • 运用规律：将 A 算式中的 3.6 和 1.2 同时乘以 10，得到 (3.6 × 10) ÷ (1.2 × 10) = 36 ÷ 12。
   • 得出结论：变换后 A 的算式与 B 的算式完全相同，因此 A 等于 B。

3. 解决“错中求解”问题：

   • 题目示例：小马虎计算一个除法算式时，把被除数 120 错写成了 12，结果得到的商是 4。正确的商应该是多少？
   • 分析：小马虎将被除数从 120 变成了 12，相当于被除数 除以了 10。
   • 运用规律：根据商不变规律，要得到正确的商，需要将错误计算出的商 4 乘以 10（因为除数没有变，是“同除”操作的逆运算）。
   • 计算：4 × 10 = 40。
   • 验证：正确的算式是 120 ÷ (12 ÷ 4) = 120 ÷ 3 = 40。所以正确的商是 40。

5. 通过练习巩固规律

1. 直接应用：不计算，直接写出下列算式的商。

   • (72 × 5) ÷ (8 × 5) 的商是 9。（因为 72 ÷ 8 = 9）
   • (350 ÷ 10) ÷ (50 ÷ 10) 的商是 7。（因为 350 ÷ 50 = 7）

2. 判断正误：判断以下说法是否正确。

   • “5600 ÷ 700 = 56 ÷ 7”是正确的。（同时划去了末尾两个 0）
   • “24 ÷ 4 = (24+6) ÷ (4+6)”是错误的。（“同加”不等于“同乘”，商不变规律不适用）

3. 解决问题：一个长方形的面积是 72 平方厘米，长是 9 厘米。如果将它的长和宽同时扩大到原来的 3 倍，新长方形的面积是多少平方厘米？

   • 先求原来的宽：72 ÷ 9 = 8（厘米）。
   • 运用规律：长和宽同时扩大 3 倍，相当于原长方形被除数（面积对应的两个因数）和除数（长）同时乘以 3，但此问题不直接涉及除法算式的商。应从面积公式角度考虑：新面积 = (长×3) × (宽×3) = 长×宽×9 = 原面积×9。
   • 计算：72 × 9 = 648（平方厘米）。