多元函数极值的必要条件与充分条件判别法

本文旨在提供一套清晰、可执行的步骤，用于判断二元函数在一点是否取得极值（极大值或极小值）。请直接按照以下流程操作。

第一阶段：判断是否为可疑极值点

要判断一个点是否是极值点，首要任务是找到所有“可疑点”，即函数可能取得极值的点。对于二元函数，必要条件是该点处的两个一阶偏导数均为零。

1. 计算 你所研究的函数 $z = f(x, y)$ 分别关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数，记作 $f_x(x, y)$ 和 $f_y(x, y)$。
2. 联立 并求解 方程组：
   $$ \begin{cases} f_x(x, y) = 0 \\ f_y(x, y) = 0 \end{cases} $$
3. 记录 该方程组的所有实数解。每一组解 $(x_0, y_0)$ 都被称为一个驻点。极值点只可能出现在这些驻点处，因此它们是我们下一步需要重点考察的“可疑对象”。

第二阶段：使用判别法对可疑点进行定性判断

找到的驻点不一定是极值点。为了精确判断一个驻点 $(x_0, y_0)$ 是极大值点、极小值点还是非极值点（鞍点），我们需要计算二阶偏导数并应用 AC-B²判别法。

1. 计算 函数在驻点 $(x_0, y_0)$ 处的三个二阶偏导数值：

   • $A = f_{xx}(x_0, y_0)$
   • $B = f_{xy}(x_0, y_0)$
   • $C = f_{yy}(x_0, y_0)$

2. 代入 并计算 判别式的值：
   $$ \Delta = AC - B^2 $$
   即 $\Delta = f_{xx}(x_0, y_0) \cdot f_{yy}(x_0, y_0) - [f_{xy}(x_0, y_0)]^2$。

3. 判断 根据 $\Delta$ 和 $A$ 的符号，按照下表得出结论：

完整操作流程示例

假设需要判断函数 $f(x, y) = x^3 - 3xy + y^3$ 的极值点。

1. 寻找驻点：计算一阶偏导数 $f_x = 3x^2 - 3y$，$f_y = -3x + 3y^2$。解方程组 $3x^2 - 3y = 0$ 和 $-3x + 3y^2 = 0$，得到两个驻点：$(0, 0)$ 和 $(1, 1)$。
2. 准备判别式：计算二阶偏导数 $f_{xx} = 6x$，$f_{xy} = -3$，$f_{yy} = 6y$。
3. 判断驻点 $(0, 0)$：
   • 计算 $A = 0$，$B = -3$，$C = 0$。
   • 计算 $\Delta = (0)(0) - (-3)^2 = -9$。
   • 由于 $\Delta < 0$，判断该点为鞍点。
4. 判断驻点 $(1, 1)$：
   • 计算 $A = 6$，$B = -3$，$C = 6$。
   • 计算 $\Delta = (6)(6) - (-3)^2 = 36 - 9 = 27$。
   • 由于 $\Delta > 0$ 且 $A = 6 > 0$，判断该点为极小值点。